YウンハイTang,1QuanyingWU,1,* XIaoyiC鶏2 そしてHaoZ下がる1,2
1江蘇骨筋の主要研究室およびナノ熱流体の流れの流れ技術とエネルギーアプリケーション、数学と物理学部、蘇州科学技術大学、蘇州、江蘇、215009、中国
2Soochow Mason Optics Co.、Ltd.、Suzhou、Jiangsu 215028、中国の大学院練習場
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
抽象的な：ラプラス方程式の分析ソリューションを使用するのと比較して、より個人的なニーズに対応できるプログレッシブ追加レンズ（PAL）の設計のための数値的方法を提案します。この方法では、補助関数u(x, y）PALの境界条件とリンク条件を持つラプラス方程式の数値解によってPALが得られます。境界条件は、個々の要件からの入力を含む遺伝的アルゴリズムを使用して取得されます。リンク条件は、より滑らかな有限差分法を使用して決定されますu(x, y）子午線で。屋外と2つの例が示されています
オフィスの使用。どちらの場合も、乱視領域はレンズの端近くの小さな領域に向かって押されます。
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OCISコード：（220.0220）光学設計と製造。 （080.0080）幾何学的光学。
参照とリンク
JT Winthrop、Wellesley、およびMass、「プログレッシブ追加スペクタクルレンズ」、米国特許番号4861153、1989。
T. Steele、H。Mcloughlin、およびD. Payne、「Progressive Addition Power」、米国特許番号6776486b2、2004。
J. Loost、G。Greiner、およびHP Seidel、「プログレッシブレンズ設計への変分アプローチ」、Comput。 des。
30(8), 595–602 (1998).
J.ワン、「進歩的レンズのデザインと数値的方法」（エデン・プレーリー：ミネソタ大学博士論文、5–54（2002）。
J. Wei、W。Bao、Q。Tang、およびH. Wang、「進歩的な追加レンズを設計するための変分差数値法」、Comput。 des。48(3), 17–27 (2014).
Q. Wu、L。Qian、H。Chen、Y。Wang、およびJ. Yu、「プログレッシブ添加レンズの子午線ラインデザインに関する研究」、Acta Opt。罪。29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang、Q。Wu、X。Chen、H。Zhang、およびY. Long、「遺伝的アルゴリズムに基づく進行性追加レンズの子午線の最適化」Acta Opt。罪。34(9), 09220051–09220057 (2014).
Z. DA、バリエーションの計算の基礎（第2版）、（国防産業、2007年）、Chap。 2。
H.ファン、私部分微分方程式のためのthods（土木工学）、（China Machine、2013）、Chap。 1。
WH Press、Sa Teukolsky、WT Vetterling、BP Flannery、Cの数値レシピ：科学コンピューティングの技術（ケンブリッジ大学、1992）、秒19.2、19.5。
1。はじめに
プログレッシブ追加レンズ（PAL）は、さまざまな視聴距離でシームレスなクリアビジョンを提供します。仲間を設計するためのメソッドには2つの主要なカテゴリがあります。 1つはDirect Methodに属します。たとえば、ウィンスロップet al.。 [1]は、デザイナーが臍子午線に沿って焦点を指定したシステムを説明しました。残りのレンズの形状と進行面の曲率の両方は、補助機能によって決定されますu(x, y）。補助関数の輪郭x-y 平面はレベル曲線と呼ばれます。
補助関数は、ラプラス方程式を分析的に解くことによって得られました。スティールet al.。 [2]コニック（補助関数として）を使用して表面全体に焦点電力を指定し、楕円形の部分微分方程式を解くことによりPALの表面形状を取得しました。もう1つの方法は、PAL表面を間接的に決定することです。たとえば、ルーストet al.。 [3]、王
[4]、Wei [5]は、焦点の望ましい分布と望ましくない乱視のバランスをとろうとする評価関数を考案しました。 PAL表面は、評価関数を数値的に最小化することにより得られました。直接的な方法では、子午線の焦点とレベル曲線の設計が2つの重要なポイントです。最近、子午線ラインの最適化された焦点分布を検索する手法が説明されています[6,7]。ウィンスロップet al.。とスティールet al.。レベル曲線の分析式を提示しました[1,2]。これらのすべての方法には、レベル曲線を調整するための2つまたは3つのパラメーターのみがあります。したがって、視力補正のための個人的なニーズを満たす能力は限られています。
上記の方法と比較して、より多くの個人的なニーズに対応できる方法を提案します。私たちのアプローチでは、レベル曲線は、個々の状況に依存する境界条件とリンク条件でラプラス方程式を数値的に解くことによって得られます。ラプラス方程式の境界条件と乱視との間には複雑な関係があります。境界条件は、パーソナライズされた要件からの入力を含む遺伝的アルゴリズムを使用して取得されます。子午線の乱視を最小限に抑えるために、変動原理と有限差分法を使用してよりスムーズなリンク条件を提案します。この方法は、個別化されたレンズを決定するための柔軟性と効率を提供します。
2.プログレッシブ追加レンズのレベル曲線の設計
PALの表面は4つの領域に分かれています（図1）。レンズの上部の距離面積1は、焦点が比較的低いです。近くのエリア2は、距離エリアの下に10-18 mmで、焦点が比較的高いです。プログレッシブコリドー3は、距離と近くのエリアを接続します。乱視領域4は、比較的深刻な乱視を伴う進歩的回廊の左右にあります。距離領域の基準点Aと近い領域の基準点B間の焦点パワーの違いは、PALの添加能（追加）と見なされます。距離エリア、近くの面積とプログレッシブコリドーは、効果的な視力領域と呼ばれます。乱視分野は、着用者のビジョンを修正するために使用することはできません。
図1。PALの4つの領域。
原点oはレンズの中心であり、x-y 平面はレンズに接しています。 X軸は、焦点力を高める方向に下向きに向かっています。z-axisは読者に向かって紙を指しています。子午線はポイントAとBを接続します。ポイントAとBの間の距離は、進行性回廊の長さです。
直接設計方法は、いくつかのステップに分かれています。最初のステップは、子午線の焦点（子午線に沿って）と補助機能を設計することですu(x, y）。 2番目
ステップは、PAL表面の各ポイントでの曲率と曲率の中心を決定することです。最後のステップは、ベクトルの高さを取得することですz(x, y) .
焦点配電はレンズの表面上で滑らかである必要があるため、補助機能u(x, y）スムーズに配布する必要があります。滑らかさの基準には、部分微分の二次合計が必要です ¶u / ¶x そして ¶u / ¶y 最低でも、つまり、
Dirichlet Integralは最小です。 Euler-Lagrangeバリエーションの原則によると、補助機能u(x, y）ラプラス方程式を満たします
Eqを解決することを提案します。 （1）数値手法の使用。ラプラス方程式の境界条件は、遺伝的アルゴリズムを使用して最適化され、リンク条件は有限差分法を使用して取得されます。
2.1ラプラス方程式の境界条件
制御ポイントuk 計算ドメインωの境界上のグリッドポイントの1つを表し、
ここh プログレッシブコリドーの長さに関連しています、L ポイントAから元のポイントoまでの距離は、そしてpk {0から1まで変化する遺伝的アルゴリズムの制御パラメーターです。K 遺伝的アルゴリズムの「染色体」の数です。すべての「染色体」のシーケンスh - L .
pk 「個人」としてベクトルを構成します。の値uk から異なります - L に
目的関数f 遺伝的アルゴリズムのベクトルのメリットを満たしている[7]
ここで、F1はPALの最大乱視です。最大乱視は要件を満たす必要がありますf* =r P - P 、 どこP そしてP ポイントAおよびB、1の焦点能力ですA B A B そしてr 追加のパワーの重み係数です。 fi ( i = 2、3l6）は、距離エリアの乱視の平均値、領域と進行中の廊下と2つですそれぞれ乱視分野。 fi ( i = 7、8、9）は、それぞれ距離エリアの平均電力値であり、それぞれ領域とプログレッシブコリドーです。 f*は対応する客観的な値です。 fi 最適化された境界を検索するための遺伝的アルゴリズムのループの変化条件。a1 ,...,a6 乱視の対応する領域の重み付け要因です。a7 ,a8そしてa9は、焦点の違いの対応する領域の重み係数です。r ( 0.75 £ r £1）そしてai ( 0.1 £ ai £2）は相対的な価値であり、着用者の好みによって決定されます。屋外アクティビティの場合、距離エリアが必要なので、重み付け係数a2はより大きくする必要がありますa3。オフィスの活動のために、距離エリアが小さく、大きい近くのエリアが求められているので、加重係数が必要ですa3はより大きくする必要がありますa2。いずれにせよ、私たちは可能な限り少ない乱視を望んでいますが、その努力は、明確な距離や地域近くの寸法など、他の需要によって制限されます。実際、それは距離エリア、近い領域、乱視の間のトレードオフです。
2.2ラプラス方程式のリンク条件
以前のアート[1]では、補助機能u(x, y）ポイントAとBの間の子午線の線は次のとおりです
PALの乱視を減らすために、私たちは焦点を安定させようとします
子午線のポイントAとポイントBを越えて。関数u(x、0）はもっと変更する必要があります
スムーズに。ポイントAとBで、u(x、0）は等しいx、斜面はゼロに等しくなければなりません、u(x、0）は高次ですN 最初の非vanishing差微分誘導体の。ポイントaとbの間の子午線の線では、微分微分の絶対値は
注文が未満の場合は最小N または等しいN .
1からnの順序で導関数の正方形の合計を最小限に抑えます
の分析式u(x、0）最小式（5）オイラーポイソン方程式を満たす[8]
式から。 （7）および式（8）、Ci ( i = 1, 2,..., 2N ）式（10）取得されます。次に、補助関数u(x、0）子午線上の線が取得されます。
さらに遠く、ui, j 幅のある子午線の両側d 有限差分スキーム[9]によって決定されます。正方形のグリッドを使用します（xi , y j ）数値的に計算しますui, j .
与えられたui, j = u(xi , y j ）、中心にある有限差分式は、2番目の微分に使用されます
ここにäy ステップサイズです。の対称軸を仮定しますu(x, y）と等しいui, j -1。並べ替え式（11）、私たちは子午線を得る、ui, j +1
（12）ラプラス方程式に基づいて最適化係数を追加しますau 、取得しますu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j 次に、の値ui, j ± n n = 1、2、3 ...順番に類似しています。の値u(x, y）進行性回廊の左と右の境界の間に取得されます。プログレッシブコリドーの幅と最適化係数au さまざまな個人的なニーズに応じて変更します。
ラプラス方程式の数値解上記で得られた境界条件とリンク条件を持つラプラス方程式は¶y2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
ここでドメインωは、PALに接する正方形の領域です。Bg境界、DL リンク状態領域、条件
f(xG , yg）最適化された境界条件、およびj(xL , yL )
リンクラプラス方程式は、有限差分スキームによって差異方程式のセットに変更されます。
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
（15）ここg = Äx = Äy 正方形のステップであり、脇の長さはmgとm 整数。
線形式（15）連続した被覆緩和（SOR）アプローチ[10]によって解決されます。 SORテクニックは、メッシュ上の一連の一連のスイープを使用して、ソリューションに収束します。収束速度は、過剰緩和係数（ORF）の値に依存し、ORFの優先値は実験的に決定されます。 SORテクニックの重要な利点は、メッシュポイントの数の平方根に比例して収束に達することです。この機能は、SORがソリューションに収束するために十分なメッシュ密度を実装できることを意味します。
3.例とディスカッション
提案された方法を2つの例に適用して、PALの焦点と乱視の特定の分布が、対応する境界条件とリンク条件によってどのように達成されるかを示します。最初の例では、着用者は屋外アクティビティにPALを使用します。したがって、距離エリアが必要です。処方によると、PALには{-2。00 diopter焦点局面電力があり、+ 2。レンズ材料の屈折の指標は1.523です。 PALの前面は、+ 2。00 diopter焦点能を持つ球面の表面です。背面は-4。00}距離領域に焦点局所力があり、-2。の値h そしてL それぞれ34と17です。
提案された方法のパフォーマンスを以前の分析方法と比較するために、進行面はWinthropメソッドによって計算されます。ラプラス方程式の解は、パラメーターを含む分析式ですh , L , x そしてy 。レベル曲線はです
図2に示す。
図2。ラプラス方程式を分析的に解くことによって得られたレベル曲線。
ベクトルの高さz(x, y）一連の方程式によって得られます。小学校に基づいています
微分形状、焦点、進行性表面の乱視が計算されます。それらの輪郭を図3に示します。進行性回廊の長さは約16 mmです。クリアビジョン領域の幅（乱視<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mmは約26 mmで、屋外の視覚には十分な幅がありません。
図3。ウィンスロップ法による進行性表面の焦点能（a）と乱視（b）。
より広い距離エリアを取得するには、重み付け係数を取得しますai 表1に示すように、ラプラス方程式の境界条件を決定するための目的関数の場合。遺伝的アルゴリズムで得られた境界条件を図4および図5に示します。
図4。左側と右側の境界条件。
図5。距離と近くのゾーンの境界条件。
ラプラス方程式を境界条件とリンク条件で数値的に解くことにより、最適化されたものu(x, y）取得します。最適化された輪郭
u(x, y）を図6に示します。
図2と比較すると、その領域はより広くなっています。u(x, y）-14よりも小さい。
図6。最適化された輪郭線u(x, y）最初の例で。
一度u(x, y）取得する、z(x, y）上記の設計手順を使用して導出できます。焦点と乱視の輪郭を図7に示します。進行面の光学性能を表3に示します。<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mmは約46 mmで、屋外の視覚により適しています。
図7。最初の例の進行性表面の焦点（a）および乱視（b）。
最初の例のPALは、CNC彫刻と研磨機で製造されています。光学特性は、PALの焦点と乱視（またはシリンダーと呼ばれる）を提供するために、Rotlex free form verifier（ffv）で測定されます。テストされた焦点と乱視の輪郭を図8に示します。PALの光学性能を表3に示します。0。最大乱視の逸脱は0.02ディオプター未満です。前面の曲率の影響により、距離ゾーンで幅は12 mmと2 mm減少します（乱視<0.5 diopter, x = -10 mm）およびゾーン近く（乱視<0.5 diopter, x = 18 mm）は、進行性表面のPALよりも製造されたPALです。
図8。FFVでテストされたPALの焦点能（a）および乱視（b）。
2番目の例では、基本的なパラメーターは最初のパラメーターと同じです。 PALはオフィスで使用されています。したがって、より大きな近い領域とより広い廊下が必要です。幅d 最初の例のように、6 mmではなく9 mmに設定されています。近視の必要性に基づく重み係数を表2に示します。遺伝的アルゴリズムで得られた境界条件を図9および図10に示します。u(x, y）図11に示されています。
図9。左側と右側の境界条件。
図10。距離と近くのゾーンの境界条件。
図11。最適化された輪郭線u(x, y）2番目の例で。
図12は、焦点の輪郭と2番目の例の乱視を示しています。表3は、最初の例と2番目の例の光学性能の比較です。最初の例の距離面積の幅は、の2番目の例の幅よりも24 mm広いですx = -10 mm。 2番目の例の幅の近くの幅は、最初の例の幅よりも8 mm広いですx = 18 mm。 2番目の例の最大乱視は、最初の例のそれよりも小さく、廊下の幅はより広いです。
図12。2番目の例の進行性表面の焦点能（a）と乱視（b）。
表1と表2は、着用者のさまざまなニーズに基づいた重み係数です。のパラメーターr そしてai 目的関数のニーズと着用者の好みによって決定されます。乱視係数a2は、屋外アクティビティのために大きな価値を選択します。重み係数のより大きな値a3 , a4 , a5そしてa6はオフィスで使用されるために選択されます。
4. conclusion
この研究では、補助機能をより制御するための新しい設計アプローチを開発し、したがって、より個別化された視力補正を満たしています。目的を達成するために、ラプラス方程式を数値的に解決します。境界とリンクの条件は、特定の要件を満たすように設定されています。その結果、距離と領域の近くの寸法と焦点の力に対する特定の必要性を、PALデザインで大いに満たすことができます。乱視分野のサイズと分布も、アプローチにより改善されています。例は、私たちのアプローチの能力を示しています。
資金
中国国立自然科学財団（NSFC）（61378056）;江蘇省の高等教育機関（中国）の自然科学財団（17KJA140001）;江蘇省のPAPDプログラム。江蘇師5年計画の重要な分野（20168765）;低次元の光電子材料およびデバイスのための支erhou主要研究室（SYG201611）;支erhouキー業界技術イノベーション計画（SYG201646）; USTSイノベーションセンター。
謝辞
著者はまた、ソーコウ大学のQian Lin教授に貴重なアドバイスについて感謝し、米国のオーガスタ大学のCao Zongjian博士に編集の提案について感謝しています。